Definición: El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.
Antes de comenzar nuestro aprendizaje del álgebra, es bueno establecer algunas semejanzas y diferencias que puedan existir entre el álgebra y la aritmética.
Muchos estudiantes se aterran cuando escuchan la palabra álgebra. Sinembargo, este miedo es infundado porque la única diferencia grande que tiene con la aritmética es el uso de letras para designar a una variable. En cuanto a su operabilidad son completamente iguales.
Semejanzas y diferencias entre aritmética y álgebra:
El concepto de la cantidad en álgebra es mucho mas amplio que en la aritmética.
En la aritmética, las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados, es decir, que usamos un lenguaje numérico. La aritmética es muy útil en situaciones de la vida real.
El álgebra es la generalización de la geometría. Para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores que les asignemos. Mediante la combinación de números y letras se puede dar solución a situaciones más complejas. Normalmente se conoce como lenguaje algebráico.
Veamos un ejemplo:
La operación 6 + 2, puede significar que tengo seis CD de música rock, y me han regalado 2 CD de música rock, lo que en total hacen en mi poder 8 CD de música rock.
De igual manera, la operación 7 - 5, puede significar que tengo 7 billetes de mil pesos, al inicio de la semana, y durante el transcurso de ella, he gastado 5 billetes de mil pesos, por lo que me queda en mi poder solamente 2 billetes de mil pesos.
Lo que puede resultar complicado, tanto del punto de vista del cálculo matemático, como la interpretación en la vida real es la siguiente operación matemática: 5 - 9. Cinco menos nueve. Ya no es tan evidente que el resultado de esta operación sea - 4 (y se lee menos cuatro). Sin embargo, como vamos a ver ahora, también es una operación que es normal en nuestra vida diaria.
Suponga usted que tiene 5 billetes de mil pesos, y usted debe al almacén de la esquina 9 billetes de mil pesos (por lo menos es lo que me ocurre con mi casera). Si decidimos pagarle, entonces le quedará debiendo 4 billetes de mil pesos, es decir le quedará en su cuenta personal una deuda (con el almacén) de 4 mil pesos. Y eso se pone en términos matemáticos como 5 - 9 = - 4. Digamos que, para este ejemplo, la cantidad negativa representa una deuda, o algo que falta y que hay que considerarla a futuro para llevar bien las cuentas. ¿Qué otra interpretación puede tener la expresión matemática 5 - 9?
Supongamos que tenemos 9 trabajadores que necesitan, obviamente, nueve puestos de trabajos, y sin embargo la municipalidad solamente ofrece 5 puestos de trabajo. Es decir faltan 9 puestos de trabajo (- 9) y la municipalidad ofrece 5 puestos de trabajo (+5), por lo tanto el problema se reduce a que ahora faltan 4 puestos de trabajo ( - 4 ).
Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos que contengan, y se clasifican en:
Monomios
Son las expresiones algebraicas que tiene un sólo término. Ejemplos:
Binomios
Son las expresiones algebraicas que tienen dos términos. Ejemplos:
15 + 3x; 4x3y5 - xy3/4 ; 17a2b6c8 + xz5
Trinomios
Son las expresiones algebraicas que tienen tres términos. Ejemplos:
a2 + b6 + c8 ; 4x3 - y5 + xy3
Polinomios
Son las expresiones algebraicas que tienen cuatro término o más. Ejemplos:
Un nuevo lenguaje
La matemática, entonces, sirve para la vida real. Lo que sucede a veces, que no puede estar estudiando caso a caso, las diferentes problemáticas que se pueden resolver con las operaciones matemáticas. Es entonces que inventa un nuevo lenguaje llamado Álgebra. Esta álgebra consiste en asociar a los números las unidades que representa. Por ejemplo, si son los billetes de mil pesos que podamos tener o no tener, que podamos sumar o restar entre cantidades de billetes de mil pesos, podemos abreviar, por ejemplo, la expresión "tengo siete billetes de mil pesos" por 7m, donde la letra m representa a "un billete de mil pesos". De manera que la expresión algebraica
7m + 5m
significa, tener 12m (doce billetes de mil pesos).
De igual manera, es posible que la letra m represente la expresión "un CD de rock", de manera que
7m + 5m
está representando que tengo 12m (doce CD de música rock)
Este nuevo lenguaje nos permite operar matemáticamente con distintas unidades. Por ejemplo, que interpretación le podríamos dar a la expresión
7a + 5b + 2a - 3b
En primer lugar, que tenemos "unidades distintas" de cosas, que hay objetos de la clase "a", y objetos de la clase "b", donde por ejemplo "a" represente "un disco de CD de música rock" y "b" represente "un billete de mil pesos", de manera que la expresión
7a + 5b + 2a - 3b
puede significar que, en total tengo 9a (nueve discos CD de música rock) y 2b (dos billetes de mil pesos). Observe que cada una de las operaciones efectuadas, la suma de los términos en "a", y la suma de los términos en "b", tienen su respectiva interpretación.
Sumar o restar los términos que tienen la misma letra (la misma unidad diremos nosotros) es lo que los profesores de matemáticas llamamos "reducir los términos semejantes".
Entonces a veces, uno olvida lo que cada letra representa, y nos ponemos a operar con los términos que son semejantes.
Veamos un ejemplo más complicado, si la unidad es m, por ejemplo m representa un billete de mil pesos o vulgarmente "una luca". ¿Cómo puede usted expresar "media luca", o quinientos pesos?. Es claro que la media luca es la mitad de una luca, de manera que en términos de la unidad m, la "media luca" se escribe como
0.5m
o que es lo mismo
De manera que podemos trabajar con expresiones algebraicas del tipo
0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b
0.3a + 3.5b
esto es que los términos semejantes se suman o restan de la manera habitual. Un procedimiento ordenado sería
0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b = 0.7a - 0.4a + 3b + 0.5b = 0.3a + 3.5b
Expresiones algebráicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
Las expresiones algebraicas se clasifican según el número de términos que contengan, y se clasifican en:
Monomios
Son las expresiones algebraicas que tiene un sólo término. Ejemplos:
10, 3x, 4x3y5, xy3/4
Binomios
Son las expresiones algebraicas que tienen dos términos. Ejemplos:
15 + 3x; 4x3y5 - xy3/4 ; 17a2b6c8 + xz5
Trinomios
Son las expresiones algebraicas que tienen tres términos. Ejemplos:
a2 + b6 + c8 ; 4x3 - y5 + xy3
Polinomios
Son las expresiones algebraicas que tienen cuatro término o más. Ejemplos:
Me parece un contenido de suma importancia y le agradezco el tiempo que se llevó en ello.
ResponderEliminarLa comparación entre el álgebra y la aritmética es fundamental para comprender la transición entre estos dos campos matemáticos. Es cierto que ambas disciplinas comparten muchas similitudes; sin embargo, es importante destacar que el álgebra introduce un nivel de abstracción y/o complejidad mayor al utilizar letras para representar variables.
La aritmética se centra en el estudio de los números y las operaciones básicas como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Estas operaciones se aplican a números concretos y se utilizan en situaciones de la vida cotidiana para resolver problemas simples.
Por otro lado, el álgebra amplía este enfoque al introducir el concepto de variables representadas por letras. Esto permite generalizar los problemas y encontrar soluciones para una amplia gama de situaciones. El álgebra también se utiliza para modelar y resolver problemas más complejos en campos como la física, la ingeniería y la economía.
Es importante destacar que el álgebra se basa en la aritmética, ya que utiliza las mismas operaciones básicas y principios matemáticos. Sin embargo, su enfoque en la abstracción y la generalización lo convierte en una herramienta poderosa para el razonamiento y la resolución de problemas en diversos contextos.