MATEMATICAS PARA EL BACHILLERATO: POTENCIACION

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales. La potenciación se considera una multiplicación abreviada.

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

Definición

Se llama potencia a una expresión de la forma aⁿ , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Por ejemplo:

En general:

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

si se cumple que

3⁰= 1

20⁰=1

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base

Ejemplo:

Producto de potencias de igual base

Para el producto de dos o más potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplos:

5² * 5⁸ = 5^{2+8 =} 5¹⁰

11² * 11³ = 11²⁺³ = 11⁵

28⁴ * 28^{9 *}28⁷ = 28⁴⁺⁹⁺⁷= 28²⁰

9^-2 * 9³ * 9⁶= 9^-2+3+6= 9⁷

División de potencias de igual base

En la división de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes.

\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

Ejemplo:

\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2

= 81

5 ⁸ : 5 ³ = 5 ^8-3 = 5⁵ = 25 (entiéndase : como dividido entre)

4⁹ : 4⁶ = 5 ^9-6 = 4^{3 = 64}

(-7)³ : (-7)⁶ = (-5)^3-6 = -7^-3= 1 / -7³= 1 / -343

Potencia de un producto
La potencia de un producto de base (a·b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente.

Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

$(-a)^n =\;\;\;\;\; a^n$ si n es par. $(-a)^n = -( a^n)$ si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que

c=\frac{1}{a}

, entonces este se denota por

a^{-1},

y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

(2) $\begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\ a^{-n} = \frac{1}{a^n}\end{array}$

Observación: $a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.$

Ejemplos:

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

Ejemplos:

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notación

a^{b^c}

se reserva para significar

a^{(b^c)}

ya que

{(a^b)}^c

se puede escribir sencillamente como

a^{bc}\,

.

Ejemplos:

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Distributiva con respecto a la multiplicación y división:

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

Ejemplos:

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa no se cumple para la potenciación.

Potencia de base 10

Para las potencias con base 10 y exponente entero, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos: