FUNCIONES MATEMATICAS

FUNCIÓN

Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio (variable independiente) y codominio (variable dependiente), de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda uno y solo un elemento del codominio (o imagen). 

Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le damos un número x (Entrada o insumo), esta máquina (la función f) lo transforma y el producto (o salida) que obtendremos finalmente será otro número (único).

Supongamos que tenemos la función f(x) = 4x

Entonces a cada valor de x le corresponderá un único valor f(x).

Ejemplos:

f(1) = 4(1) = 4

f(2) = 4(2) = 8

f(5) = 4(5) = 20

f(-3) = 4(6) = 24

Esta función lo que hace es cuadruplicar el valor inicial introducido; agregamos el valor 2 y nos devuelve 8, al asignar el valor 3, nos devuelve 12, etc.

Esto lo que nos muestra es que existe una relación entre el valor ingresado y el valor obtenido.

Note también que al ingresar un valor de x, no es posible que la función nos devuelva dos o más valores.

Pero ¿Cuál es la relación que hay en estas correspondencias?

A estas correspondencias las relaciona, entonces, nuestra función.

Estas relaciones pueden ser representadas en el plano cartesiano como un conjunto de pares ordenados (x, y) donde el elemento x corresponde al valor introducido (dominio) y el elemento y corresponde al valor que arroja nuestra función (codominio). 

Como mencionamos arriba, la condición para que una expresión sea una función es que no se repita el valor de x;  en cambio "y" puede tomar varios valores, es decir, que a cada valor de x pueden corresponder varios valores en y.  

Convencionalmente el dominio se representa en el eje x o eje de las abcisas (eje horizontal) y el codominio se representa en el eje y o eje de las ordenadas (eje vertical).

En resumen, los elementos de una función son:

NOTACIÓN FUNCIONAL

Cuando se refiere a una función f, X se refiere al dominio de la función, "Y" se refiere al codominio, x ∈ X es un elemento del dominio, y f (x) es el valor del codominio que le corresponde al valor x del dominio de la función.

Utilizando la analogía de la máquina que transforma números, f es el nombre que le damos a esa máquina, es decir, es la función, x es el número que nosotros le damos a la máquina, el conjunto de todos los valores que esta máquina puede transformar se denota por X (x ∈ X), f (x ) es el valor que la máquina nos devuelve cuando le damos x y Y es el conjunto de todos los valores que la máquina nos devuelve ( f (x ) ∈Y).

Ejemplo:

Las siguientes expresiones son funciones.

f(x) = x4 + 3x3 – 5x2 – 2x + 6

f(x) = 4x6 – 7x5 + 6x4 +3x3 – 8x2

f(x) = 6x5 + 9x3 – 7x2 – 2x + 10

f(x) = 5x3 + 8x2 – 2x

Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: «para cada valor del dominio le corresponde a lo más un valor del codominio.»

Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función.

Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo.

Las siguientes son relaciones que no son funciones.

x2  + y2  = 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si x es elemento del dominio, y y es elemento del codominio, no se cumple que para todo elemento del dominio haya a lo más un elemento del codominio.

En este caso, para un valor que le damos x₀  la relación nos devuelve dos: y₀ y -y₀.

y2 = x , porque cuando graficamos obtenemos una parábola horizontal:

Ahora, para x = 3, obtenemos dos valores, √ 3 y √ -3

Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos el criterio de la línea vertical.

CRITERIO DE LA LÍNEA VERTICAL

Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una función ésta puede ser cortada en dos puntos, entonces la relación no es una función.

Nota: No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas las funciones son relaciones.

Las funciones se aplican con frecuencia en la vida diaria.

Por ejemplo, cuando va a enviar un paquete, el Costo del envío depende del peso del paquete.

En términos matemáticos decimos que el Costo está en función del peso del paquete.

Si C es el costo o valor del envío por un paquete de peso p, entonces, C= f (p).

Veamos otro ejemplo. Supongamos que usted dedica cierta cantidad de sus ingresos a la compra de ropa.

Entonces podemos decir que la cantidad de ropa que compra depende de su nivel de ingresos.

Si R es la cantidad de dinero dedicado a la compra de ropa e I es su nivel de ingresos, entonces R = f( I ).

Un ejemplo adicional. 

En una empresa de envíos, un paquete enviado a nivel nacional con un peso de p gramos cuesta I pesos, de acuerdo a la siguiente tabla:

¿Representa esta relación entre las variables una función?

• Para verificar si se trata de una función debemos verificar que satisface la definición.

    Si a cada elemento del dominio (peso) le corresponde uno y sólo un elemento del                       codominio (Costo), entonces sí se trata de una función.

• Ahora podemos convertir la pregunta a: «¿Existe un peso para el cual se asignen dos Costos?»

          Como para cada peso del paquete se le asigna un único importe, entonces sí se trata de           una función.

• Ahora vamos a aplicar la regla de la recta vertical.

          Para eso, primero debemos graficar la función:

• ¿Puedes dibujar una recta vertical que corte en dos puntos a la gráfica de la función?

          Pues no, porque se trata de una función.

Observa que la gráfica no está definida para p = 0, porque si no vas a enviar un paquete, no hay necesidad de calcular el Costo.

Esta función normalmente se conoce como Función definida por intervalos, debido a que los valores que va tomando la función están definidos por distintas expresiones. Dependiendo del valor del dominio que le demos será la expresión que utilizará para calcular el valor que nos va a devolver.

Otro ejemplo de función definida por intervalos es la siguiente:

f (x ) =    {2 x - 1 si x < 0           ;      3 x +1 si x >= 0

Cuando los valores de x que le damos son negativos, es decir, si x < 0, entonces utilizamos 

2x -1 para calcular el valor que la función nos devolverá. Pero si x >= 0, entonces usamos 

3x +1.

Si graficas estas dos ramas de la función, obtienes la gráfica que está definida por intervalos como se indicó.

Ejemplo. 

Cuando se deja caer una piedra desde 10 metros de altura, la distancia y desde el suelo a

la piedra, t segundos después de haberse soltado puede calcularse con la ecuación:
y = 10 - 4.05 t2.


Verifica si esta ecuación es una función.

Lo más sencillo en este caso es graficar la ecuación que nos dieron y verificar si se trata de una función aplicando la regla de la recta vertical.

Como no es posible cortar la gráfica con una recta vertical en dos de sus puntos, se trata de una función.

Ejercicio. Encontrar la función que represente la siguiente situación.

Los taxis cobran $3500 pesos por solicitar un servicio y $500 pesos por kilómetro recorrido.

Encuentra la función que transforma los kilómetros recorridos (x ) en el Precio de la carrera que debemos pagar al taxista (y ).

Solución:

• Si recorremos cero kilómetros debemos pagar solamente el cargo fijo por solicitar el servicio  ($3500).

• Si recorremos un kilómetro debemos pagar, además $500, esto hace un total de $3500 + $500 =      $4000 pesos.

• Si recorremos dos kilómetros debemos pagar: $3500 + $1000 = $4500 pesos.

• En general, si recorremos x kilómetros, debemos pagar:

             y = 3500 + 500 x

 

Esta es la función que nos pidieron encontrar.

• Por ejemplo, si deseamos conocer cuánto debemos pagar si recorremos 25 kilómetros en el taxi, basta evaluar la función en x = 25:

y = 3500 + 500 (25) = $16000 pesos.

Esta expresión es una función porque a cada valor de x (elemento de su dominio) le asigna uno y solo un valor y (elemento de su codominio).

Se te deja como ejercicio graficar esta función.

Evaluación de una función en un punto

La evaluación de una función en un punto nos ayuda a conocer el valor de la función en ese punto. 

En el ejemplo anterior pudimos calcular el Precio de la carrera gracias a este procedimiento. Por eso es muy importante.

Para evaluar la función, simplemente sustituye el valor de x donde quieres evaluarla y realiza todos los cálculos que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas es el valor que toma la función en ese punto.

Por ejemplo, la función f (x ) = 4x evaluada en x = 3 es 43 = 64. Observa que solamente basta sustituir 3 en lugar de x . Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene la función en ese punto.

Ejemplo:

Dados f (x ) = 2x - x2, x₀ = 5, y c = 1, calcula:

a. f (x₀)
b. f (x₀ + c )
c. f (x₀)+ c
d. c * f (x₀)
e. f (c *  x₀)
f. f (x₀ - c )
g. f (x₀) - c


Solución:
Sabemos que x₀ = 5, y c = 1.

a. Primero calculamos f (x₀). 

 f (x ) = 2x - x2

 f (x₀ ) = 2x0 - x₀2                           Reemplazamos el valor de x₀

 f (5 ) = 25 - 52

f (5 ) =32 - 25

f (5 ) = 7

b. 

c. 

d.

e.

f.

g.

Operaciones con funciones 

Dado que las funciones nos devuelven números después de transformarlos, realizar una operación (suma, resta, etc.) a un par de funciones se puede realizar siempre que éstas estén definidas.

Por ejemplo si f y g son dos funciones definidas en un intervalo, entonces, podemos calcular 

f (x ) + g (x ), f (x ) - g (x ), f (x ) * g (x ) en cualquier caso y f (x ) / g (x ) siempre que g (x ) ≠ 0.

Otra operación importante sobre funciones es la composición.