MINIMO COMUN MULTIPLO

En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos.

Para entender qué es el Mínimo Común Múltiplo debemos definir cada uno de los términos que lo componen: 

¿Qué es un "múltiplo"?

Es cada uno de los valores que obtienes cuando multiplicas un número por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,...) como en las tablas de multiplicar.

Ejemplo:

Los múltiplos de 8 son 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, etc...

Los múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, 35, 42, etc...

Qué es un "múltiplo común"?

Si tienes dos (o más) números, y al comparar sus múltiplos encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 6) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44, 48...

Los múltiplos de 6 son 6,12,18,24,30,36,42,48...

Mira qué números aparecen en las dos listas. Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 6 son: 12, 24, 36, 48, etc.

¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 12, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.

Cálculo  del mínimo común múltiplo (m.c.m)

Existen dos formas de hacerlo.

1) Por descomposición en factores primos:

Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

1a) También podemos calcularlo, poniendo uno junto al otro los números, y empezamos a descomponerlos simultáneamente. En este caso, el mcm será el producto de los factores comunes y no comunes que obtuvimos. 

Ejemplo:

hallar el mcm de 2, 3, 6 y 15. 

1b) Un método alternativo adicional es calculando el máximo común divisor.

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

Tomando el mismo ejemplo de arriba, calculemos el valor del mcm de 72 y 50.

Sabemos que el mcd de 72 y 50 es 2 (es el único divisor común que tienen ambos números). Sabemos también que (72) ()50) = 3600, entonces

2. Método largo para calcular el mcm

Escribimos los múltiplos de los números hasta que encontremos uno que coincida.

 Ejemplo:

Calcular el mcm de 12 y 18.

Aplicaciones del mínimo común múltiplo

Suma de fracciones

El mcm se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el mcm de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:

Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33)

Luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:

Operando las fracciones, podemos realizar la suma:

 =   

Expresiones algebraicas

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.⁶

De esta forma el m.c.m. de monomios  y  es  igualmente para  y  es .

Propiedades básicas

1.    Si a es un entero, entonces [a, a] = a

2.    Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a.

3.    (a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.

4.    [a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1

5.    [a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.

6.    [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1

7.    [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]

8.    [a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0

9.    [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)

·         Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo.

A y B que descompuestos en números primos será A=(p₁·p₂)·p₃·p₄ y B=(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde si m.c.d. es (p₁·p₂) y el producto de A·B=(p₁·p₂)·p₃·p₄·(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde vemos que (p₁·p₂) está repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p₁·p₂) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su mcm

·         El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.

·         El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.

·         El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.

·         El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.

·         Sea mZ el conjunto de los múltiplos del entero m, nZ el del entero n. Entonces el conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra notación es el conjunto [m,n]Z.